Ceci est la page, encore en construction, du cours de M2 sur les variétés de caractères des surfaces.
Le poly est là
La variété des caractères d’un groupe Γ est un objet géométrique qui classifie les représentations linéaires de dimension n de Γ, c’est-à-dire l’ensemble
{ρ : Γ → GLn(ℂ)}/(conjugaison)
muni d’une structure de variété algébrique appropriée. La variété des caractères d’une surface est, par définition, la variété des caractères de son groupe fondamental. C’est donc un objet à l’intersection de la topologie, de la théorie des représentations et de la géométrie algébrique. Dans ce cours, on commencera par voir ou revoir rapidement quelques notions de géométrie algébrique et de théorie des représentations des groupes, pour définir correctement et décrire les variétés de caractères en général. On passera ensuite au cas des variétés des caractères des surfaces. On définira l’algèbre de Goldman dont les éléments sont des combinaisons linéaire de boucles sur la surface en question et qui donne une sorte de version ``universelle’’ des variétés de caractères. L’un des principaux buts sera de construire sur cette algèbre (et sur ces variétés) ce qu’on appelle une structure de Poisson. C’est une notion originaire de la physique, mais qui joue aujourd’hui un rôle fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques. Non seulement les variétés de caractères fournissent une famille importante de structures de Poisson, mais elles constituent l’exemple fondateur d’une relation remarquable qui existe entre certaines structures algébriques et géométriques inspirées pas la physique quantique, et la topologie de basse dimension (notamment la théorie des nœuds).
L’objectif principal sera donc de prouver l’existence de cette structure de Poisson sur l’algèbre de Goldman, puis de montrer qu’elle descend en une structure de Poisson sur les variétés des caractères des surfaces. En fonction du temps disponible, on mentionnera aussi peut-être les liens entre la quantification de ces structures de Poisson et la théorie des nœuds.